有限数学示例

$2 x^{6} - 5 x^{3} - 12 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2}$ 。

$2 {(x^{3})}^{2} - 5 x^{3} - 12 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = x^{3}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{3}$ 。

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

解题步骤 1.3

分组因式分解。

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解题步骤 1.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $- 5 u$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

解题步骤 1.3.1.2

把 $- 5$ 重写为 $3$ 加 $- 8$

$2 u^{2} + (3 - 8) u - 12 = 0$

解题步骤 1.3.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} + 3 u - 8 u - 12 = 0$

解题步骤 1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 u^{2} + 3 u) - 8 u - 12 = 0$

解题步骤 1.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u + 3) - 4 (2 u + 3) = 0$

解题步骤 1.3.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u + 3$ 来因式分解多项式。

$(2 u + 3) (u - 4) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x^{3} + 3 = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

解题步骤 3

将 $2 x^{3} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 x^{3} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{3} + 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $2 x^{3} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 x^{3} = - 3$

解题步骤 3.2.2

将 $2 x^{3} = - 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $2 x^{3} = - 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{3} = - \frac{3}{2}$

解题步骤 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4

化简 $\sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $- \frac{3}{2}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4.2

从根式下提出各项。

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = - \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4.4

将 $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$

解题步骤 3.2.4.5

将 $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$x = - (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

解题步骤 3.2.4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 3.2.4.6.1

将 $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.6.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.2.4.6.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

解题步骤 3.2.4.6.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.2.4.6.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.2.4.6.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.2.4.6.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.2.4.6.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.6.5.4.1

约去公因数。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.2.4.6.5.4.2

重写表达式。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.2.4.6.5.5

计算指数。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 3.2.4.7

化简分子。

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解题步骤 3.2.4.7.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

解题步骤 3.2.4.7.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2}$

解题步骤 3.2.4.8

化简分子。

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解题步骤 3.2.4.8.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = - \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2}$

解题步骤 3.2.4.8.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}$

解题步骤 4

将 $x^{3} - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{3} - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} - 4 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} - 4 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$x^{3} = 4$

解题步骤 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

解题步骤 5

最终解为使 $(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

小数形式：

$x = - 1.14471424 \dots, 1.58740105 \dots$

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